A Basis is in da Algebra a Teimenge vo am Vektorraum. Andas gsagt is a Basis a Menge/Famüllie vo linear unabhängige Vektoan, de wej an Vektorraum eazaigt.

Definition Werkeln

A Menge   hoisst Basis vom Vekorraum  , wenn güllt:

  •   san linear unabhängig
  •   erzeingd ganz V, des hoisst  

Man ko a Basis aa sortian, nachernd kommas owa nimma als Menge schreim, sondan mous als Famüllie   schreim. Des is bsondas wichtich, wemma vo da oan in de ana Basis wechsln mächt. De Vektoan in da Basis hoissnd Basisvektoan

Eignschaftn Werkeln

Existenz Werkeln

A nejda endlich erzeigte Vektorraum hod a Basis, und in da Regl sogoa meara wej oane. Wenn da Vektorraum iwa an unendlichn Körper gejd, nachand giz sogoa unendlich vüll Basen. Wejs mid unendliche Vektorräume ausschaut, hengt davo oo, ob ma s'Auswahlaxiom gülltn lousst owa ned. Do damid komma nämlich zoing, dass a nejda Vektorraum a Basis hom mou.

Basisläng Werkeln

Fir a Basis   vo   güllt im Allgemeina:

  • Sie is maximal linear unabhängig, des hoisst   is von Haus aus linear abhängig
  • Sie is minimal erzeignd, des hoisst  

Do draus kamma folgan, dass a nejde Basis vo   gleich lang is, des hoisst de Kardinalität vonana nejdn Basis is gleich. Waal des güllt, komma aa festleng, woas a Dimension von am Vektorraum is, nämlich grod d'Läng vo da Basis.

Beispülla Werkeln

Kanonische Basen Werkeln

Wemma an Vektorraum   hod, nachand is de einfachsde Basis de sogenannte kanonische Basis  

De komma owa a einfach schreim als  , wobei das hold dann   der Vektor is, der wej an da j. Stell vo oom an Oansa stejerd hod.

Andane Beispülla Werkeln

  • Monombasis vo   :  , wobei das   güllt.
  • allgemein a Monombasis vo  :  
  •   is a Basis vo  
  •   Is a nicht-Standard-Basis vom  

Wichtiche Sätze Werkeln

Fiar endliche, n-dimensionale Vektorräume V gitz zwoa ganz wichtiche Sätze im Bezuch aaf lineare Unterräume.

Basisauswahlsatz Werkeln

Wemma an linearen Unterraum   hod, nachernd gitz a Basis   von  , de wej Teilmenge vo   is. Des hoisst im Endeffekt, das ma se aus an nejdn Erzeugendensystem vo an Vektorraum Vektoren drausklam kann, mid dene wej ma a Basis mocha kann (wenns ned eh scho oane san).

Basisergänzungssatz Werkeln

Wemma an Lineara Unterraum   hod mid ana Basis   nachernd gitz   aso, das   a Basis is vo ganz V. Des hoisst, dasma zun an Häffl linear unabhängige Vektoren awl no oi find, mid dene wej mara Basis mocha konn.

Obacht Werkeln

Es git oa Sach, wouma umbedingt Obacht gem mou: Iwa wechan Körper gejt da Vektorraum? Je nachdem mouma nämlich schaun, wejfl Basisvektoan dasma braucht. Beispüllsweise wemma de Komplexn Zahln   als reelln Vektorraum oschaut, nachernd is a Basis dazou z. B.  , also mid Länge zwoa. Als komplexer Vektorraum glangt owa scho oa Vektor als Basis, z. B.  . Als rationaler Vektorraum z. B. waar a Basis unendlich lang.

Literatua Werkeln

  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8