Satz vom Vitali

Da Satz vom Vitali is a wichtiche Aussage aas da Maßtheorie. Der sagt nämlich, dass's im $\mathbb {R} ^{d}$ Mengen gitt, dej wos niat Lebesgue-messbar han. Dej Mengen aas den Beweis hoissd ma Vitali-Mengen. Ma bracht dazou awa s'Auswahlaxiom.

Beweis

An Satz vom Vitali beweist ma mid an Widerspruch. Da dazou definiert ma se a Relation ~ aaf'n $\mathbb {R} ^{d}$ duach $x\sim y:\iff x-y\in \mathbb {Q} ^{d}$. Ma kon lächt zoing, das des a Äquivalenzrelation is. Wecha'm Auswahlaxiom giz ejtzad a Menge V, wau vo ana jedn Äquivalenzklass vo ~ genau oi Element drin is. Wemma ejtz sachat, dass V $\lambda ^{d}$-messbar waar, nachernd gawats prinzipiell zwoa Meglichkeitn:

• oimol, dass $\lambda ^{d}(V)=0$. Des hoissert awa wecha da σ-Additivität und da Translationsinvarianz vom Lebesgue-Maß, dass

$\lambda ^{d}(\mathbb {R} ^{n})=\lambda ^{d}\left(\bigcup _{q\in \mathbb {Q} ^{d}}(V+q)\right)=\sum _{q\in \mathbb {Q} ^{d}}\lambda ^{d}\left(V+q\right)=\sum _{q\in \mathbb {Q} ^{d}}\lambda ^{d}\left(V\right)=0$

• ansonstn kannt no $\lambda ^{d}(V)\in (0,\infty )$ sa. Nach'n Satz vom Steinhaus gitz a $\delta >0$ aso, dass

$U_{\delta }(0)\subseteq V-V=\{v-w|v,w\in V\}.$

Dementsprechend gitz aa a $y\in \mathbb {Q} ^{d}\setminus \{0\}$ mit $y\in U_{\delta }(0)\subseteq V-V$. Des hoissert awa ätz, dass's $v\neq w\in V$ gitt, aso, dass $v-w=y$. Des gait awa niat, waal siest v und w in da glächn Äquivalenzklass saa mejssadnd, also hejchtns ois davo in V saa ko.

Sechdane V hoisst ma wej gsagt Vitali-Mengen.

Literatua

• Herrlich, Horst: Axiom of Choice. Springer-Verlag, 2006, Seite 120.