Satz vom Vitali

Da Satz vom Vitali is a wichtiche Aussage aas da Maßtheorie. Der sagt nämlich, dass's im Mengen gitt, dej wos niat Lebesgue-messbar han. Dej Mengen aas den Beweis hoissd ma Vitali-Mengen. Ma bracht dazou awa s'Auswahlaxiom.

BeweisBearbeiten

An Satz vom Vitali beweist ma mid an Widerspruch. Da dazou definiert ma se a Relation ~ aaf'n   duach  . Ma kon lächt zoing, das des a Äquivalenzrelation is. Wecha'm Auswahlaxiom giz ejtzad a Menge V, wau vo ana jedn Äquivalenzklass vo ~ genau oi Element drin is. Wemma ejtz sachat, dass V  -messbar waar, nachernd gawats prinzipiell zwoa Meglichkeitn:

  • oimol, dass  . Des hoissert awa wecha da σ-Additivität und da Translationsinvarianz vom Lebesgue-Maß, dass
 
  • ansonstn kannt no   sa. Nach'n Satz vom Steinhaus gitz a   aso, dass
 

Dementsprechend gitz aa a   mit  . Des hoissert awa ätz, dass's   gitt, aso, dass  . Des gait awa niat, waal siest v und w in da glächn Äquivalenzklass saa mejssadnd, also hejchtns ois davo in V saa ko.

Sechdane V hoisst ma wej gsagt Vitali-Mengen.

LiteratuaBearbeiten

  • Herrlich, Horst: Axiom of Choice. Springer-Verlag, 2006, Seite 120.