Spektrale Leistungsdichtn

De spektrale Leistungsdichtn [W/Hz oda dBm/Hz] (dt. Spektrale Leistungsdichte, engl. spectral density) gibt de auf de Frequenz bezogane Leistung vo an Signoi in am infinitesimoin Frequenzbandl au. Waunst de spektrale Leistungsdichtn iwa'm Frequenzspektrum augibst, nocha kriagst a Leistungsdichtespektrum. Des Integral iwa olle Frequenzn is de Gesaumtleistung vo dem Signoi.

Leistungsdichtnspektrum vo an Signoi

De mathematische spektrale Leistungsdichtn (spektrale Leistungsdichtn im weitan Sinn) wiad ois Fouriertransformierte vo da Autokorrelationsfunktion vo an stationärn Zuafoisprozess gwunna, zan Beispü de Autokorrelationsfunktion vo da Rauschspaunung iwa am ohmschn Widastaund.

De physikalische spektrale Leistungsdichtn (spektrale Leistungsdichtn im engan Sinn) wiad ois Fouriertransformierte vo da Kreizkorrelationsfunktion vo zwoa Zuafoisprozessn gwunna. Dabei muass owa de Kreizkorrelationsfunktion beim Argument 0 a physikalisch sinnvolle Leistung sein. Beispü: de Kreuzkorrelationsfunktion ausm Rauschstrom duach an und de Rauschspaunung iwa am ohmschn Widastaund.

Definition

Wäu fiaran stationärn stochastischn Prozess f(t) im Oigmoanan de Energie $\|f\|_{2}^{2}$ wia a de Fouriertransformierte $F{\big (}f{\big )}(\omega )$ im klassischn Sinn ned existian, schaut ma si an zeitlich begrenztn Autäu $f_{T}(t)=f(t)$ fia $|t|\leq T$ und sonst $0$. Noch da Fuaml vo Plancherel güüt

${\frac {1}{2T}}\int \limits _{\mathbb {R} }|f_{T}(t)|^{2}\mathrm {d} t={\frac {1}{2T}}\int \limits _{\mathbb {R} }|F(f_{T})(\omega )|^{2}\mathrm {d} \omega$

Waun die mittlare Signoileistung

$r_{XX}(0):=\lim \limits _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int \limits _{-T}^{T}|f(t)|^{2}\mathrm {d} t$

existiat, nocha existiat aa de rechte Seitn vo da oban Fuaml und ois spektrale Bschreibung vo da Leistung kau ma de spektrale Leistungsdichtn definian (waun da Grenzwert existiat) ois

$S_{XX}(\omega ):=\lim \limits _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}|F(f_{T})(\omega )|^{2}$

Fia jeds endliche $T$ hoaßt de Gressn ${\text{Per}}_{T}(\omega ):={\frac {1}{2T}}|F(f_{T})(\omega )|^{2}$ es Periodograum vo f. Es stöt an Schätzweat vo da spektroin Leistungsdichtn doa, dessn Eawoatungsweat owa ned $S_{XX}(\omega )$ entsprechn duad (ned eawoatungstreu) und dessn Variaunz aa fia beliabig große $T$ ned verschwindn duad (ned konsistent).