Fixpunktsatz vom Banach

Da Fixpunktsatz vom Banach is a mathematischa Sotz vom Banach Stefan. Ea sogt wos iwa d Existenz und d Oadeitigkeit vo an Fixpunktproblem.

Aggradde Formuliarung

Songma $(M,d)$ is a metrischa Raum, der wos voiständig und ned laar is. Außerdem soi $f\colon M\to M$ a Kontraktion sa, des hoasst, doss f Lipschitz-stetig is mid Lipschitz-Konstante kleana wej oans, oda in Formeschreibweis:

$\left(\exists \vartheta <1\right)\left(\forall x,y\in M\right):d(f(x),f(y))\leq \vartheta d(x,y)$

Nachad hod f aggradd oan Fixpunkt, des hoasst oiso es gitt aggradd oa $x\in M$ mit $f(x)=x.$

Beweis

Existenz vo am Fixpunkt

Um zum beweisn, dass f an Fixpunkt hod, mochtma a sogenannte Fixpunktiteration. Do dazou nimmtmara $x_{0}\in M$ und definiert eam nacha a Foige $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ rekursiv durch

$x_{n}:=f(x_{n-1})\quad (\forall n\in \mathbb {N} ).$

Mid vollständiga Induktion komma leicht zoang, dass

$d\left(x_{n+1},x_{n}\right)\leq \vartheta ^{n}d\left(x_{1},x_{0}\right)\quad (\forall n\in \mathbb {N} ).$

Dann gült fiar $k,l\in \mathbb {N}$:

$d\left(x_{k+l},x_{k}\right)\leq \sum _{j=k}^{k+l-1}d\left(x_{j+1},x_{j}\right)\leq d\left(x_{1},x_{0}\right)\sum _{j=k}^{k+l-1}\vartheta ^{j}\leq d\left(x_{1},x_{0}\right)\vartheta ^{k}\sum _{j=0}^{\infty }\vartheta ^{j}=d\left(x_{1},x_{0}\right){\frac {\vartheta ^{k}}{1-\vartheta }}.$

De easchte Obschätzung kimmt aus da Dreiecksungleichung, des Isgleich af z'Letzt kimmt vo da geometrischn Reih. Waal ejtza des aaf da rechtn Seitn neama vo l abhängich is und beliabig kloa wern ko, wamma sched s k grous gnou mocht, is de Folge oiso a Cauchy-Foige, und waal M voiständig is, gitz an Grenzweat x vo deara Foige. Des x is ejtzand a Fixpunkt, waal ma zwecks da Stetigkeit vom f song ko:

$f(x)=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }x_{n-1}=x.$

Oadeitigkeit vom Fixpunkt

Ejtz wissma scho, dass an Fixpunkt gitt, owa da Satz sogt ja aa no, dasa oadeitig is. Des zoagtma, indem, das ma sagt, das x und y zwoa Fixpunkt vo f sa soind. Nachad guit owa:

$d(x,y)=d\left(f(x),f(y)\right)\leq \vartheta d(x,y).$

Daduach, doss owa $\vartheta <1$ is, muass $d(x,y)=0$ sa, ergo is $x=y$. Oiso is da Fixpunkt oadeitig und desweng is da Beweis vom Sotz firte.

Literatua

• Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik, 5. Aufl., Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8