Fixpunktsatz vom Banach

Da Fixpunktsatz vom Banach is a mathematischa Sotz vom Banach Stefan. Ea sogt wos iwa d Existenz und d Oadeitigkeit vo an Fixpunktproblem.

Aggradde FormuliarungBearbeiten

Songma   is a metrischa Raum, der wos voiständig und ned laar is. Außerdem soi   a Kontraktion sa, des hoasst, doss f Lipschitz-stetig is mid Lipschitz-Konstante kleana wej oans, oda in Formeschreibweis:

 

Nachad hod f aggradd oan Fixpunkt, des hoasst oiso es gitt aggradd oa   mit  

BeweisBearbeiten

Existenz vo am FixpunktBearbeiten

Um zum beweisn, dass f an Fixpunkt hod, mochtma a sogenannte Fixpunktiteration. Do dazou nimmtmara   und definiert eam nacha a Foige   rekursiv durch

 

Mid vollständiga Induktion komma leicht zoang, dass

 

Dann gült fiar  :

 

De easchte Obschätzung kimmt aus da Dreiecksungleichung, des Isgleich af z'Letzt kimmt vo da geometrischn Reih. Waal ejtza des aaf da rechtn Seitn neama vo l abhängich is und beliabig kloa wern ko, wamma sched s k grous gnou mocht, is de Folge oiso a Cauchy-Foige, und waal M voiständig is, gitz an Grenzweat x vo deara Foige. Des x is ejtzand a Fixpunkt, waal ma zwecks da Stetigkeit vom f song ko:

 

Oadeitigkeit vom FixpunktBearbeiten

Ejtz wissma scho, dass an Fixpunkt gitt, owa da Satz sogt ja aa no, dasa oadeitig is. Des zoagtma, indem, das ma sagt, das x und y zwoa Fixpunkt vo f sa soind. Nachad guit owa:

 

Daduach, doss owa   is, muass   sa, ergo is  . Oiso is da Fixpunkt oadeitig und desweng is da Beweis vom Sotz firte.

LiteratuaBearbeiten

  • Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik, 5. Aufl., Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8