Taylorpolynome han ganz wichtiche Hülfsmittl in da Analysis, am Teilgebiet vo da Mathematik, waal ma damid a Funktion um an Punkt rundum näherungsweis ausrechnen kann. Se wean voa allen Dingen in de Natuawissnschaftn hergnumma. Eng damid vowandt han Taylorreihen.

Taylor-Formel Werkeln

Wemma a Funktion   hod, de wej  -mol stetig differenzierbar is, wobei   a Intervall is, nachernd gült fia alle  :

 

Do dabaa is da easde Summand as "Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a". Ma kann do dafia aa schreim:

 

  is as Restglied, des wej ma ausrechnan kann als:

 

Waal eam des Restglied owa oft ned indressiert, z. B. wemma ind da Physik a komplizierte Formel nähern mog, schreibt ma stattdessen einfach mid Hülfe vo de Landau-Symbole:

 

Beweisskizze Werkeln

Ma beweist den Satz vo Taylor mid vollständiger Induktion iwa n. Da Induktionsofang ( ) is einfach sched da Hauptsatz vo da Differential- und Integralrechnung:

 

Im Induktionsschritt ( ) integriert ma partiell über   und stüllt fest, dass dann des Integral wos überbleibt genau as n-te Restglied is und dass se alles Andane zum Taylorpolynom vom Grad n zammaddiert.

Restgliedformeln Werkeln

Ma ko des Restglied   aa no anderster ogem, wej im Satz vo Taylor beschriem, z. B. in da Form vom Lagrange, de wej ohne Integral auskimmt:

 

Do dabaa is   a bestimmter Wert zwischn a und x. Ma kanns aa in da Cauchyschn Form ogem:

 

Kann hier bitte jemand das auf Deutsch übersetzen?

Mehrdimensionale Taylorpolynome Werkeln

Wemma a Funktion   hod, de wej n-mal stetig differenzierbar is, wobei ejtz   offa und konvex is, nachernd kamma mid hülfe von da Multiindexschriebweise as Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a ogem als:

 

Fia   giz a recht einfache Schreibweis, nämlich

 

wobei Df d'Jakobimatrix vo f,   d'Hessematrix vo f und   as Standardskalarprodukt han.

Beispülla Werkeln

oadimensional Werkeln

Songma,  , wüllma um an Punkt   bis in de 2. Ordnung entwickln. Do dazou mouma ejtz alle Ableitungan bis zu da 2. ausrechnen.

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Nacha setztma für x an Entwicklungspunkt   ei und kann damid as Taylorpolynom afstülln.

 

mehrdimensional Werkeln

Ejtz songma ma wüll   um an Punkt   bis zur 2. Ordnung entwickln. Do mouma ejtz aa wieda de ensprecehndn Ableitungan ausrechnen:

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Des hoisst fürs Taylorpolynom:

 

Literatua Werkeln

  • Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.