Taylorreihe

A Taylorreihe is a Möglichkeit, das ma bestimmte Funktionan als Potenzreihe darstülln ko. Eng damid vowandt is as Konzept vo de Taylorpolynome, wej ma grejgt, wemma d'Reihenentwicklung noch endlich vüll Schritte obricht.

Definition

Wenn $J\subset \mathbb {R}$ a offas Intervall is, $f\in C^{\infty }(J,\mathbb {R} )$, also f a unendlich oft stetig differezierbare Funktion is und $a\in J$, dann hoisst

$T_{a}f(x):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

"Taylorreihe vo f im Entwicklungspunkt a". Des is zeascht amol einfach a Potenzreihe, owa wenn f reell analytisch is, nachernd hods fir anejds a ausn Intervall J an positivn Konvergenzradius und is in den Bereich glich mid f. Es git owa grod aso Funktionen, wou de Taylorreihe in bestimmte Punkte an Konvergenzradius 0 hod.

Beispiele

Oane vo de wichdichstn Taylorreihen is de vo da Exponentialfunktion. Es güllt:

$\exp x=\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

Des Istgleich-Zeichen derf do stej, waal de Taylorreihe vo da Exponentialfunktion reell analytisch is und in jedn Punkt an unendlichen Konvergenzradius hod. Ganz ähnlich schauts aus mid Sinus und Kosinus, do güllt nämlich:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

A andas Beispüll, des recht oft fiakimmt is $f(x)=\log(1+x)$. De Funktionhod hod in $a=1$ Taylorreihe:

$T_{a}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n}}{n}}$

De Potenzreihe hod ejtz als Konvergenzradius 1, des hoisst de Taylorreihe vo f konvergiert am Intervall $(-1;1)$ und is do aa identisch mid da Funktion.

A Beispüll für a Funktion, wou d'Taylorreihe in oan Punkt in koana Umgebung vo dem Punkt mid da Funktion zammstimmt is z. B.

$g(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0\\\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{x^{2}}}},&x>0\\\end{cases}}$

De Funktion is üweroll unendlich oft stetig differenzierbar, owa d'Ableitung im Punkt 0 is awl 0, des Hoisst d'Taylorreihe is d'Nullfunktion und stimmt daher fir positive x nirgands mid da Funktion üwarein.

mehrdimensionaler Taylor

Wenn $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ offa, $a\in M$ und $f\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{n})$, nachernd is de Taylorreihe vo f im Punkt a mithilfe vo da Multiindexschreibweise definiert als:

$T_{a}f(x):=\sum _{|p|\geq 0}{\frac {D^{p}f(a)}{p!}}(x-a)^{p}$